$\sum\limits_{r = 1}^{15} {{r^2} \left( \frac{^{15}C_r}{^{15}C_{r - 1}} \right)}$ का मान किसके बराबर है?

$20$ क्रमिक प्राकृतिक संख्याओं के संग्रह से, चार को इस प्रकार चुना जाता है कि वे क्रमिक न हों। ऐसी चयन की संख्या है

$2, 1, 2, 3$ अंकों का उपयोग करके बनाई जा सकने वाली सभी चार अंकों की संख्याओं का योग $.......$ है।

$(2 \cdot {}^{1}P_{0} - 3 \cdot {}^{2}P_{1} + 4 \cdot {}^{3}P_{2} - \dots 51^{\text{th}} \text{ पद तक}) + (1! - 2! + 3! - \dots 51^{\text{th}} \text{ पद तक})$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $x$ और $y$ शब्द $ATRAPATRAM$ के अक्षरों के उन विन्यासों की संख्या को दर्शाते हैं जिनमें $(i)$ सभी $A$ एक साथ हैं और $(ii)$ कोई भी दो $A$ एक साथ नहीं हैं,तो $x+y$ किसके बराबर है?

$0, 1, 2, 3, 4, 5$ अंकों का उपयोग करके और प्रत्येक अंक का एक संख्या में एक से अधिक बार उपयोग न करके बनाई जा सकने वाली तीन-अंकीय और पांच-अंकीय पूर्णांकों की कुल संख्या है: